【深度学习】基于Pytorch的softmax回归问题辨析和应用(一)_专栏

【深度学习】基于Pytorch的softmax回归问题辨析和应用(一)

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文章目录
1 概述
2 网络结构
3 softmax运算
4 仿射变换
5 对数似然
6 图像分类数据集
7 数据预处理
8 总结

1 概述

回归可以用于预测多少的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜利数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们经常对分类感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

该电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
该用户可能注册或不注册订阅服务？
该图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
韩梅梅接下来最有可能看哪部电影？

让我们从一个图像分类问题开始简单尝试一下。每次输入是一个 $2\times2$ 的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征 $x_1, x_2, x_3, x_4$。此外，让我们假设每个图像属于类别 “猫”，“鸡” 和 “狗” 中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择。也许最直接的想法是选择 $y \in {1, 2, 3}$，其中整数分别代表 ${\text{狗}, \text{猫}, \text{鸡}}$。这是在计算机上存储此类信息的好方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测 ${\text{婴儿}, \text{儿童}, \text{青少年}, \text{青年人}, \text{中年人}, \text{老年人}}$，那么将这个问题转变为回归问题并保留这种格式是有意义的。

但是，一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。
在我们的例子中，标签 $y$ 将是一个三维向量，其中 $(1, 0, 0)$ 对应于 “猫”、$(0, 1, 0)$ 对应于 “鸡”、$(0, 0, 1)$ 对应于 “狗”：

$$y \in {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.$$

2 网络结构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。
每个输出对应于它自己的仿射函数。
在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。
下面我们为每个输入计算三个未归一化的预测（logits）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。

$$
\begin{aligned}
o_1 &= x1 w{11} + x2 w{12} + x3 w{13} + x4 w{14} + b_1,\
o_2 &= x1 w{21} + x2 w{22} + x3 w{23} + x4 w{24} + b_2,\
o_3 &= x1 w{31} + x2 w{32} + x3 w{33} + x4 w{34} + b_3.
\end{aligned}
$$

我们可以用神经网络图来描述这个计算过程。
与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

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为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。
通过向量形式表达为 $\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}$，这是一种更适合数学和编写代码的形式。我们已经将所有权重放到一个 $3 \times 4$ 矩阵中。对于给定数据样本的特征 $\mathbf{x}$，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\mathbf{b}$得到的。

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。
然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。
具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，参数开销为$\mathcal{O}(dq)$，在实践中可能高得令人望而却步。

3 softmax运算

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice models）的背景下发明的softmax函数正是这样做的。
为了将未归一化的预测变换为非负并且总和为1，同时要求模型保持可导。我们首先对每个未归一化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$$

容易看出对于所有的 $j$ 总有 $0 \leq \hat{y}_j \leq 1$。因此，$\hat{\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。softmax 运算不会改变未归一化的预测 $\mathbf{o}$ 之间的顺序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$
\operatorname{argmax}_j \hat y_j = \operatorname{argmax}_j o_j.
$$

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。

4 仿射变换

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
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5 对数似然

softmax函数给出了一个向量 $\hat{\mathbf{y}}$，我们可以将其视为给定任意输入 $\mathbf{x}$的每个类的估计条件概率。例如，$\hat{y}_1$ = $P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})$。假设整个数据集 ${\mathbf{X}, \mathbf{Y}}$ 具有 $n$ 个样本，其中索引 $i$ 的样本由特征向量 $\mathbf{x}^{(i)}$ 和独热标签向量 $\mathbf{y}^{(i)}$ 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$
P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}).
$$

根据最大似然估计，我们最大化 $P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$
-\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)})
= \sum{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)}),
$$

其中，对于任何标签 $\mathbf{y}$ 和模型预测 $\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$ l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j. $$

由于 $\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。由于所有 $\hat{y}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 $0$。
因此，如果正确地预测实际标签，即，如果实际标签 $P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1$，则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
softmax回归适用于分类问题。它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量。它测量给定模型编码数据所需的比特数。

softmax和交叉熵绝配哦！！！！！

6 图像分类数据集

%matplotlib inline
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

d2l.use_svg_display()

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True,
                                                transform=trans,
                                                download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False,
                                               transform=trans, download=True)

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Fashion-MNIST中包含的10个类别分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签。"""
    text_labels = [
        't-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat', 'sandal', 'shirt',
        'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """Plot a list of images."""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

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7 数据预处理

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中。"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data",
                                                    train=True,
                                                    transform=trans,
                                                    download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data",
                                                   train=False,
                                                   transform=trans,
                                                   download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break

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8 总结

虽然说深度学习的教程已经烂大街了，基础理论也比较容易掌握，但是真正让自己去实现的时候还是有一些坑。一方面教程不会涉及太多具体的工程问题，另一方面啃PyTorch的英文文档还是有点麻烦。
在这篇文章中，笔者首先介绍了FashionMNIST数据集。然后接着介绍了如何使用Pytorch中的DataLoader来构造训练数据迭代器。