首页专栏详情
打赏
【剖析】傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换(二))
易百纳技术社区 david 2022-02-18 09:00:16


【剖析】傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换


接着上文聊,我们知道在s域上,虚轴上不同的点对应不同的频率,而z域上单位圆与s域虚轴对应,可见,z域单位圆上不同的点,代表了不同的频率。


对于z域的传递函数的零极点,也有和s域零极点类似的结论:

  • 规律1:如果在单位圆上有零点,则在零点所对应的频率上幅值响应为零;

  • 规律2:对于不在单位圆上的零点,在单位圆上离零点最近的点对应的频率上幅值响应最小。

  • 规律3:对于在单位圆内部的极点,在单位圆上离极点最近的点对应的频率上幅值响应最大。

  • 规律4:如果极点和零点重合,对系统的频率响应没有影响



单位圆逆时针从0 -> -0.5fs -> 0?


细心的朋友发现没?上图单位圆为何逆时针是从0->0.5fs,然后又从-0.5fs到0?耐心等待下文的解释。


很久以前,我们需要处理的信号只有模拟信号。但是现在我们步入了新时代——数字时代,大部分信号都变成数字式了,典型的数字信号长成这个样子:



把模拟信号变成数字信号的过程称之为采样。


采样频率定义为:

采样是一个有规律的周期性过程,也就说,采样会引入额外的谐波分量。举个简单的例子,现在有一个余弦信号,频率为 8Hz,表达式为:

假设我们对这个余弦信号进行采样,采样频率fs为20MHz,采样结果如下图,其中虚线为原始信号,菱形为采样点的数值。


采样到的离散的点,我们用曲线拟合的方式即可恢复模拟信号,但是!


拟合出来的曲线可能是12Hz、28Hz,32Hz,48Hz,…,也就是说采样之后信号频谱有很多频率,而不单单是原信号频率8Hz。


为什么?怎么办?



样定




两个信号在时域相乘,在频域相当于卷积;在时域卷积,在频响相当于相乘。


狄拉克梳状函数(Dirac comb)

狄拉克函数定义为:


离散信号,其实就是连续信号f(t)与狄拉克梳状函数(也就是采样函数)的相乘,这就是采样。这是时域行为,在频域就是卷积!


狄拉克梳状函数无论在时域还是在频域,其形貌都是一系列的脉冲信号,感兴趣的朋友可以参考这个链接查看推导:https://zhuanlan.zhihu.com/p/45114376


举个例子:

对于余弦函数而言,比如:w=2πf, f=8Hz

其傅里叶变换包含两个频率分量,分别是8Hz以及-8Hz,如下图:


采样频率fs为20Hz:


采样后的信号的频谱被周期延拓了,延拓的周期就是20Hz,也就是采样频率。


上文说了,对8Hz的余弦函数采样得到离散点,拟合出来的曲线可能是12Hz、28Hz,32Hz,48Hz,也就是说采样之后信号频谱有很多频率,而不单单是原信号频率8Hz。


现在明白了吧,12Hz是-8Hz平移一个采样周期(20Hz)得来的,28Hz是8Hz平移一个采样周期,32Hz是-8Hz平移两个采样周期,48Hz是8Hz平移两个采样周期。


得到了如下结论:对一个连续信号的采样,采样后的频谱相当于将采样前的频谱进行了延拓,延拓的周期就是采样频率。



奈奎斯特采样定律

假设一个信号的频谱如下:

频谱中最大的频率为fmax ,用一个周期为fs的狄拉克梳状函数进行采样后的频谱为原频谱的周期延拓,示意图如下:

采样之后的频谱是一个周期函数,我们把[0, 1/2*fs]称为主值区间:




这就解释了上文的问题:细心的朋友发现没?上图单位圆为何逆时针是从0->0.5fs,然后又从-0.5fs到0?


接着思考下,如果采用频率小于信号最大频率的2倍:


会发生原始频谱信号经过周期延拓后会有一部分重叠:



对于连续信号的进行抽样离散的话,必须保证采样频率是原连续信号最大频率分量的2倍频率以上,否则信号就难以复原。这就是采样定理,又叫奈奎斯特采样定理或香农采样定理。



零、极点影响频率响应


  • 例子1:

对于这个系统,在z=0有一个极点,在z=1时有一个零点。零、极点分布如下:



其中o表示零点,x表示极点。从z=1也就是单位圆上角度为零(也是频率为零)的点开始,此处z=1有一个零点,根据规律1,显然在频率为零时系统响应为零。


顺着单位圆沿逆时针方向旋转,我们离零点越来越远,零点的影响也越来越小,因此幅值响应会逐渐增大。当我们到达z=-1 ,也就是频率为1/2fs时,此时离零点最远,因此响应会达到一个最大值,当频率继续增大时,由于离零点又开始接近了,幅值响应又开始变小。


极点正好位于圆心位置,也就是说所有频率段离极点的距离都一样,因此可以认为都没影响。


用freqz函数将系统的频响画出来,如下图,这个系统本质上是一个高通滤波器。


这个系统转换到时域:


是不是很惊喜,这本质就是一个差分,低频信号被过滤,高频信号通过。



  • 例子2:


零极点图如下

零点跑到了1/2*fs处,因此,系统的频响会先减小,到1/2*fs处达到最小值,然后又增加,具体频响如下图,这本质上是一个低通滤波器。

时域的表达式为: 

这本质就是一个离散求和,对应连续系统的积分,是一个低通滤波器。



低通、高通滤波有了,带阻呢?


假如我们在0到1/2fs之间放置一个零点,那会不会是一个带阻滤波器呢?比如我们想在频率在3/8fs这个点的系统频率响应为零。

[0, 1/2*fs]称为主值区间[-1/2*fs,0]为对称区间,因此,3/8fs处对应的相位角为3π/4,同时,-3π/4也是零点相位角。因此,传导函数为:

展开可得:

感兴趣的朋友继续推导下带通滤波器的设计,后面接着聊FIR、IIR滤波。


参考原文:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45138629

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45114376


谢阅读,别走!点赞、关注、转发后再走吧



转载:全栈芯片工程师

809
收藏
点赞
打赏
给作者打赏,鼓励他抓紧创作吧~
一个爱徒步的~IT民工
评论
0个
内容存在敏感词
相关专栏
点击登录
-- 积分
-- EBC
专栏
收益
评论
我要创作
打赏作者
david
您的支持将鼓励我继续创作!
打赏金额:
¥1
¥5
¥10
¥50
¥100
支付方式:
微信支付
支付宝支付
微信支付
打赏成功!

感谢您的打赏,如若您也想被打赏,可前往 发表专栏 哦~

审核失败

失败原因
备注
Loading...
易百纳技术社区
确定要删除此文章、专栏、评论吗?
确定
取消
易百纳技术社区
在专栏模块发布专栏,可获得其他E友的打赏
回答悬赏问答,被题主采纳后即可获得悬赏金
在上传资料时,有价值的资料可设置为付费资源
达到一定金额,收益即可提现~
收益也可用来充值ebc,下载资料、兑换礼品更容易
活动规则
  • 1.周任务为周期性任务,每周周一00:00刷新,上周完成的任务不会累计到本周,本周需要从头开始任务,当前任务完成后才可以完成下一个任务
  • 2.发布的专栏与资料需要与平台的板块有相关性,禁止注水,专栏/资料任务以审核通过的篇数为准
  • 3.任务完成后,现金奖励直接打款到微信账户;EBC/收益将自动发放到个人账户,可前往“我的钱包”查看;其他奖励请联系客服兑换
  • 4.每周最后三个任务将会有以下奖品掉落:社区热卖开发板、小米音响、视频年度会员、京东卡、华为手机等等